Razones Trigonometricas.
Para este tema utilizaremos las razones trigonometricas que son:

Seno (Sen)=cateto opuesto/Hipotenusa
Coseno(Cos)=cateto Opuesto/Hipotenusa
Tangente(Tan)=Cateto Opuesto/Cateto Adyacente
Cotangente(Cot)=Cateto Adyacente/Cateto Opuesto
Secante(Sec)=Hipotenusa/Cateto adyacente
Cosecante(csc)=Hipotenusa/Cateto Opuesto

Para poder analizar estas razones debemos expresar el angulo agudo θ (tetha) como una variable independiente, que puede ser un simple numero real o un numero real que denote la medida de un angulo en grados o en radianes; entonces, denotaremos, por ejemplo sen t o sen θ. A esta variable independiente la llamaremos argumento.

Supongamos que θ es un angulo agudo; es decir 0°<θ<90°(Si θse mide en grados) o 0<θ<pi/2 (Si θ se mide en radianes). Coloca θ en posicion estandar y sea P=(a, b) cualquier punto excepto el origen 0, sobre el lado terminal  de θ.

Ejemplo:

Ejemplo:

Encuentra el valor xacto de cada una de las seis funciones trigonometricas del angulo X, en el siguiente triangulo rectangulo

Solucion:

Veamos en la figura que los 2 lados dados del triangulo son

C=Hipotenusa=?

a=Catetto adyacente=3

A= 45°

Para encontrar la longitud  del cateto opuesto usamos las razones trigonométricas

180-(90+45)

180-135=45

A=45

B=45

C=45

COSENO 45°= CATETO ADYACENTE/HIPOTENUSA

COSENO 45°=45/HIP

(HIP)(COSENO45°)=45

HIPOTENUSA=45/ COSENO45°

HIPOTENUSA= 63.63

SENO45°= CATETO OPUESTO/HIPOTENUSA

SENO45°=CATETO OPUESTO/63.63

(63.63)(SENO45°)=CATETO OPUESTO

CATETO OPUESTO= 44.99

Teorema de Pitagoras.
Un triangulo tal que uno de sus ángulos es recto (90°) se denomina triangulo rectangulo.
El lado opuesto al angulo recto se llama hipotenusa y los 2 lados restantes se llaman catetos.
Ejemplo:

El Teorema de Pitagoras nos dice que:
c(2)=a(2)+b(2)
es decir, el cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Ejemplo:

Dados los valores de los catetos, calcular la hipotenusa.

a=3cm, b=4cm, c=¿?

Solucion:

Sustituyendo a y b tenemos:

C (cuadrada)=(3cm cuadrados)+(4cm cuadrados)

C(cuadrada)=(9cm cuadrados)+(6 cm cuadrados)

C(cuadrda)=25 metros cuadrados

C= raiz cuadrada de 25m

C=5m

TEOREMA DE SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS

Teorema 1:

Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos homólogos, es decir, iguales, es este caso el teorema solo requiere dos ángulos mientras que la propiedad menciona todos.

Ejemplo:

Si <C=C' y <A=A', entonces el Δ  ABC~ Δ A'B'C'
Teorema 2:
Dos triangulo son semejantes si sus 3 lados son proporcionales, en este caso el teorema menciona los tres lados mientras que la propiedad solo requiere la razón, lo que quiere decir que es la comparación entre dos lados del triangulo
Ejemplo:

Teorema 3:

Dos triángulos son semejantes si tienen un angulo igual y los lados que forman dicho angulo son proporcionales.

Ejemplo:

Si <A=A' entonces Δ ABC~ ΔA'B'C'

Rectas y puntos notablas de el triángulo

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

 

DEFINICIÓN



 

Recta perpendicular  trazada en el punto medio de cada lado del triángulo y cuando las 3 mediatrices del triángulo se cortan en punto a este se le llama circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita en el triangulo 

 

 

BISECTIZ DE UN ÁNGULO

DEFINICION

 

Recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. La bisectriz de un ángulo es la recta que parte de su vértice y divide al ángulo en dos ángulos iguales. cada punto de la bisectriz esta a la misma distancia de los lados del ángulo, las tres bisectrices interiores de un triangulo se cortan en un punto llamado incentro: es el centro de la circunferencia inscrita en el triangulo

 

MEDIANA DE UN´ÁNGULO

DEFINICION

 

Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto, las tres medianas se cortan en un mismo punto llamado baricentro; el baricentro es el punto de gravedad del triangulo ( el punto de equilibrio)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ALTURAS DE UN TRIÁNGULO

 

DEFINICION

 

Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. La altura de un triangulo es el menor segmento trazado desde un vértice hasta un lado opuesto. las alturas de un triangulo se cortan en un punto llamado ortocentro

 

 

 

RECTA DE EULER

 

Es aquella que contiene al ortocentro, baricentro, y circuncentro.

 

 

  



TRIÁNGULOS

 

TRIANGULO

 

DEFINICION

 



Es un polígono de tres lados que viene determinado por tres ángulos y tres vértices

1.- Los vértices se denotan con letras mayúsculas

2.- Los lados se denotan por la misma letra que el vértice opuesto pero en minúscula

 

 

 

CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS SEGUN SUS LADOS

 

Se clasifican en:

 

1.- ESCALENOS : Son aquellos cuyos tres lados son distintos

 

 

2.-ISOSCELES: Tiene dos lados iguales y otro desigual

 

3.- EQUILATERO: Tiene sus tres lados iguales

 

 

 

CLASIFICACION DE LOS TRIANGULOS DE ACUERDO CON SUS ANGULOS

 

1.- RECTANGULOS: Son aquellos que tienen un ángulo recto

 

 

 

2.- ACUTANGULOS: Son aquellos que tienen sus tres ángulos agudos

 

3.- OBTUSANGULOS: Son aquellos que tienen un ángulo obtuso

 

 

 

PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS

 

 

Propiedad 1:

La suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180°. 

Esto es: 45+75+60=180°

 

 

 

Propiedad 2( propiedad triangular):

 

La longitud  de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos lados, es decir cada lado tiene que ser mayor que la diferencia de los otros dos

 

 

 

Propiedad 3:

 

 El triangulo equilátero tiene tres ángulos iguales y, por lo tanto, de 60° cada uno para que la suma de estos sea de 180 respetando así su propiedad

 

 

 

 

El triangulo  rectángulo, al lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos catetos

 

 

 

Un triangulo rectángulo isósceles  tiene un angulo recto y sus catetos iguales, luego los ángulos agudos también son iguales entre si de 45°

 

 

 

 

SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS 

•SISTEMA DECIMAL

Su base es 10, se utiliza el punto como supra índice (indica grados)

 

•SISTEMA SEXAGESIMAL

Su base es 60, se utiliza grado (°) minutos (´) y segundos (´´)

•SISTEMA CÍCLICO

Utiliza radian; es cuando el radio mide lo mismo que la longitud del arco. 

Pi;: numero de veces que cabe el diámetro en la circunferencia.

Rad; son los valores expresados de Pi 

 

CONVERSIONES

 SISTEMA SEXAGESIMAL A SISTEMA DECIMAL

 

Para poder realizar este tipo de conversiones se presentan unos pasos a continuación

1.- el numero de grados se pasa a decimal

2.- Los minutos se dividen entre sesenta

3.- Los segundos se dividen entre sesenta y el resultado se vuelve a dividir o para mayor facilidad se divide entre 3600

4.- finalmente el resultado de las dos divisiones (paso 2 y 3) se suman y sube el resultado

 

EJEMPLO:

198° 17' 47´´

198° 17' 47'': 198.29

17/60: 0.28

47/3600: 0.01

El resultado es 198.29

 SISTEMA DECIMAL A SISTEMA SEXAGESIMAL

 

Para poder realizar este tipo de conversiones se presentan unos pasos a continuación

1.- El numero completo se pasa como numero de grados

2.- El resto de decimales se multiplican por 60 y el numero completo se sube para obtener los minutos 

3.- El resto se vuelve a multiplicar por 60 para obtener los segundos

 

EJEMPLO:

 

17.5649°

 

17.5649°: 17° 33´ 53.64´´

 

0.5629*60: 33.894

 

0.984*60: 53.64

 

El resultado es 17° 33´ 53.64''

 

               SISTEMA CICLICO A SISTEMA SEXAGESIMAL

 

 

Para poder realizar este tipo de conversiones se presentan unos pasos a continuación

1.- se utiliza la formula siguiente:

 Rad: 180°/ pi

2.- de lado izquierdo y derecho se le agrega el numero de radianes a convertir

3.- se resuelve...

 

EJEMPLO:

 

( 5 pi ) rad: 180°/ pi ( 5 pi )

 

5Pi rad: 5pi/ pi (180°)

 

5pi rad: 5(180°)

 

5pi rad: 900°

 

 

SISTEMA SEXAGESIMAL A SISTEMA CICLICO

 

Para poder realizar este tipo de conversiones se presentan unos pasos a continuación

1.-  se utiliza la formula siguiente:

 1°: pi / 180 rad

2.- se pone de lado izquierdo y derecho el numero de grados a convertir

3.- se resuelve ...

 

EJEMPLO:

 

( 60 ) 1°: pi / 180 ( 60 )

 

60°: pi/180° rad (60)

 

60°: (0.0174)(60) rad

 

60°: 1.044rad